Question

5．已知实数a，b，c，d满足b+c+d=3-a，2b²+3c²+6d²=5-a²，则a的最大值为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 3
• D． 1

Answer 1

分析 由柯西不等式得（2b²+3c²+6d²）（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$）≥（b+c+d）²，b+c+d=3-a，2b²+3c²+6d²=5-a²，从而得到关于a的不等关系：5-a²≥（3-a）²，求得a的取值范围，即可求得a的最大值．

解答 解：根据柯西不等式，得（2b²+3c²+6d²）（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$）≥（b+c+d）²，
当且仅当2b=3c=6d时，等号成立
∵a+b+c+d=3，2b²+3c²+6d²=5-a²，
∴5-a²≥（3-a）²，解得：1≤a≤2，
当且仅当2b=3c=6d且b+c+d=1时，即当b=$\frac{1}{2}$，c=$\frac{1}{3}$，d=$\frac{1}{6}$时，a有最大值2．
故答案选：A．

点评 本题考查不等式的证明问题，考查柯西不等式和基本不等式的应用问题，有一定的技巧性，需要同学们对一般形式的柯西不等式非常熟练，属于中档题．