Question

20．因发生交通事故，一辆货车上的某种液体溃漏到一池塘中，为了治污，根据环保部门的建议，现决定在池塘中投放一种与污染液体发生化学反应的药剂，已知每投放a（1≤a≤4，a∈R）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为y=a•f（x），其中f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{16}{8-x}-1（{0≤x≤4}）}\\{5-\frac{1}{2}x（{4＜x≤10}）}\end{array}}$．若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．
（1）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？
（2）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）由a=4，得y=a•f（x），即$y\left\{{\begin{array}{l}{\frac{64}{8-x}-4（{0≤x≤4}）}\\{20-2x（{4＜x≤10}）}\end{array}}\right.$，；令y≥4，解得x的取值范围．
（2）要使接下来的4天中能够持续有效治污，即当6≤x≤10时，$y=2•（{5-\frac{x}{2}}）+a（{\frac{16}{{8-（{x-6}）}}-1}）=10-x+\frac{16a}{14-x}-a=（{14-x}）+\frac{16a}{14-x}-a-4$≥4恒成立，求y的最小值，令其≥4，解出a的最小值．

解答 解：（1）因为a=4，
所以$y\left\{{\begin{array}{l}{\frac{64}{8-x}-4（{0≤x≤4}）}\\{20-2x（{4＜x≤10}）}\end{array}}\right.$，
①当0≤x≤4时，
由$\frac{64}{8-x}-4≥4$，解得x≥0，
所以此时0≤x≤4．
②当0＜x≤10时，
由20-2x≥4，解得x≤8，
所以此时4＜x≤8．
综合得，0≤x≤8，即一次投放4个单位的制剂，则有效治污时间可达8天．
（2）当6≤x≤10时，
$y=2•（{5-\frac{x}{2}}）+a（{\frac{16}{{8-（{x-6}）}}-1}）=10-x+\frac{16a}{14-x}-a=（{14-x}）+\frac{16a}{14-x}-a-4$，
由题意知，y≥4对于x∈[6，10]恒成立．
因为14-x∈[4，8]，
所以$4\sqrt{a}∈[{4，8}]$，
故当且仅当$14-x=4\sqrt{a}$时，
y有最小值为$8\sqrt{a}-a-4$，
令$8\sqrt{a}-a-4≥4$，
解得$24-16\sqrt{2}≤a≤4$，
所以a的最小值为$24-16\sqrt{2}$．
又$24-16\sqrt{2}≈1.6$，
所以a的最小值约为1.6．

点评 本题考查了分段函数模型的应用以及基本不等式的应用问题，解题时应分区间考虑函数的解析式，是易错题．