Question

11．当a（a＞0）取何值时，直线x+y-2a+1=0与圆x²+y²-2ax+2y+a²-a+1=0 相切，相离，相交？

Answer 1

分析 由圆的方程求出圆心和半径，根据点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，由直线与圆相交、相切、相离的条件列出不等式，求出a的取值范围．

解答 解：由题意得，x²+y²-2ax+2y+a²-a+1=0，即（x-a）²+（y+1）²=a
圆的半径为$\sqrt{a}$、圆心坐标是（a，-1），
∴圆心（a，-1）到直线x+y-2a+1=0距离d=$\frac{|a|}{\sqrt{2}}$，
∵直线x+y-2a+1=0与圆x²+y²-2ax+2y+a²-a+1=0相交，
∴$\frac{|a|}{\sqrt{2}}$＜$\sqrt{a}$，解得0＜a＜2；
∵直线x+y-2a+1=0与圆x²+y²-2ax+2y+a²-a+1=0相切，
∴$\frac{|a|}{\sqrt{2}}$＜$\sqrt{a}$，解得a=2；
∵直线x+y-2a+1=0与圆x²+y²-2ax+2y+a²-a+1=0相离，
∴$\frac{|a|}{\sqrt{2}}$＞$\sqrt{a}$，解得a＞2．

点评 本题考查直线和圆的位置关系的判断方法：几何法，及点到直线的距离公式的应用，考查化简、计算能力．