Question

如图所示，是一个多面体ABC-A₁B₁C₁和它的三视图．

（1）在直观图中连接AB₁，试证明AB₁∥平面C₁A₁C；
（2）线段CC₁上是否存在一点E，使BE⊥平面A₁CC₁，若不存在，请说明理由，若存在，请找出并证明；
（3）求平面C₁A₁C与平面A₁CA夹角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由题意知AA₁，AB，AC两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AB₁∥平面C₁A₁C．
（2）设存在一点E，使BE⊥平面A₁CC₁，设

CE

=λ

CC1

，由此利用向量法能求出线段CC₁上存在一点E，满足

CE

=

2

3

CC1

，使BE⊥平面A₁CC₁．
（3）求出平面C₁A₁C的法向量和平面A₁CA的一个法向量，利用向量法能求出平面C₁A₁C与平面A₁CA夹角余弦值．

解答： （1）证明：由题意知AA₁，AB，AC两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），A₁（0，0，2），B（-2，0，0），
B₁ （-2，0，2），C（0，-2，0），C₁（-1，-1，2）（2分）
由

CC1

=（-1，1，2），

A1C1

=（-1，-1，0），

AB1

=（-2，0，2），
设

AB1

=m

A1C1

+n

CC1

，即（-2，0，2）=m（-1，-1，0）+n（-1，1，2）
即

-2=-m-n 0=-m+n 2=0+2n

，解得

m=-1 n=1

，即

AB1

=-

A1C1

+

CC1

，（4分）
即向量

AB1

、

A1C1

、

CC1

共面，
又A₁C₁、CC₁在平面C₁A₁C内，AB₁不在平面C₁A₁C内，
所以AB₁∥平面C₁A₁C．（5分）
（2）解：设存在一点E，使BE⊥平面A₁CC₁，即满足

BE • CC1 =0 BE • A1C1 =0

，
设

CE

=λ

CC1

，由

CC1

=（-1，1，2），

BC

=（2，-2，0），
得

BE

=（2-λ，-2+λ，2λ）                                         （6分）
又

A1C1

=（-1，-1，0），所以

λ-2-2+λ+4λ=0 λ-2+2-λ+0=0

，解得λ=

2

3

，
所以线段CC₁上存在一点E，满足

CE

=

2

3

CC1

，
使BE⊥平面A₁CC₁．（8分）
（3）解：设平面C₁A₁C的法向量为

m

=（x，y，z），
则由

m • A1C1 =-x-y=0 m • A1C =-2y-2z=0

，（9分）
取x=1，则y=-1，z=1．故

m

=（1，-1，1），
而平面A₁CA的一个法向量为

n

=（1，0，0），
则cos＜

m

，

n

＞=

1

3

=

3

3

，（11分）
平面C₁A₁C与平面A₁CA夹角余弦值为

3

3

．（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，考查平面与平面的夹角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．