Question

已知

a

=（

3

sinωx，-cosωx），

b

=（cosωx，cosωx），ω＞0，函数f(x)=

a

•

b

，且f（x）的图象相邻两条对称轴间的距离为

π

2

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=

7

，b=2，且f（

A

2

）=

1

2

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，整理后根据相邻两条对称轴间的距离求出最小正周期，利用周期公式求出ω的值，确定出f（x）解析式，利用正弦函数的单调性求出f（x）的单调增区间即可；
（Ⅱ）由f（

A

2

）=

1

2

，确定出A的度数，再由a，b的值，利用余弦定理求出c的值，根据三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵

a

=（

3

sinωx，-cosωx），

b

=（cosωx，cosωx），ω＞0
∴f（x）=

a

•

b

=

3

sinωxcosωx-cosωxcosωx=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx-

1

2

=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

，
∵f（x）相邻两条对称轴的距离为

π

2

，∴f（x）最小正周期为π，
由

2π

2ω

=π，得ω=1，即函数f（x）=sin（2x-

π

6

）-

1

2

，
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
∴函数f（x）的单调增区间[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z；
（Ⅱ）∵f（

A

2

）=sin（A-

π

6

）-

1

2

=

1

2

，
∴sin（A-

π

6

）=1，
∵0＜A＜π，∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，
∴A=

2π

3

，
在△ABC中，a=

7

，b=2，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，即7=4+c²+2c，
解得：c=3或c=-1（舍去），
则S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3 3

2

．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，正弦函数的单调性，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．