Question

函数f（x）=2^x-

a

2x

为偶函数，则下列函数中在区间（0，2）上递减的是（　　）

• A、f（x）=x²+2ax-1
• B、f（x）=（1-a）^x
• C、f（x）=-ax³-12x+1
• D、f（x）=x-

  a

  x

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数是偶函数，求出a的值，即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）=2^x-

a

2x

为偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即2-x-

a

2-x

=2^x-

a

2x

，
即2^x-

a

2x

=

1

2x

-a•2x，
即a=-1，
则A．f（x）=x²+2ax-1=f（x）=x²-2x-1，对称轴为x=1，则区间（0，2）上不单调，不满足条件．
B．f（x）=（1-a）^x=2^x，在区间（0，2）上递增，不满足条件，
C．f（x）=-ax³-12x+1=x³-12x+1，函数的f′（x）=3x²-12=3（x²-4），
则当0＜x＜2时，f′（x）＜0，函数单调递减，满足条件．
D．f（x）=x-

a

x

=x+

1

x

，在区间（0，2）上不单调，不满足条件，
故选：C

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数的性质．