Question

2．已知圆C的圆心在直线y=x上，半径为5且过点A（4，5），B（1，6）两点
（1）求圆C的方程；
（2）过点M（-2，3）的直线l被圆C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设圆心坐标为（a，a），则（a-1）²+（a-6）²=（a-4）²+（a-5）²=25，求出a，即可求圆C的方程；
（2）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线l的方程．

解答 解：（1）由题意，设圆心坐标为（a，a），则（a-1）²+（a-6）²=（a-4）²+（a-5）²=25
∴a=1
∴圆C的方程（x-1）²+（y-1）²=25．
（2）当直线l的斜率不存在时，过点A（-2，3）的直线l：x=-2，
此时过点A（-2，3）的直线l被圆所截得的线段的长为：2$\sqrt{25-9}$=8，
∴l：x=-2符合题意．
当直线l的斜率存在时，设过点A（-2，3）的直线l的方程为y-3=k（x+2），即kx-y+2k+3=0，
圆心到l的距离d=$\frac{|3k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
由题意，得（$\frac{|3k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$）²+4²=5²，解得k=$\frac{5}{12}$．
∴直线l的方程为$\frac{5}{12}$x-y+$\frac{23}{6}$=0．即5x-12y+46=0．
综上，直线l的方程为x=-2，或5x-12y+46=0．

点评 本题考查曲线轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．