Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+1（a＞0）．
（1）若f（-1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0，求f（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，设g（x）=f（x）-kx，求g（x）最小值．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意得到b²-4a=（a+1）²-4a=（a-1）²≤0，从而求出a，b的值；（2）先求出g（x）的表达式，通过讨论对称轴的范围，从而求出函数的最小值．

解答： 解（1）∵f（-1）=0，∴b=a+1①，
∵f（x）=ax²+bx+1（a＞0）的最小值为

4a-b2

4a

，
f（x）对x∈R时均有f（x）≥0，
∴必有f（x）_min=

4a-b2

4a

≥0，
∴a＞0，∴4a-b²≥0，即b²-4a≤0②，
将①代入②得b²-4a=（a+1）²-4a=（a-1）²≤0，
∴a=1，b=2，
∴f（x）=x²+2x+1；
（2）由（1）得g（x）=x²+（2-k）x+1，对称轴x=

k

2

-1．
①

k

2

-1＜-2，即k＜-2时，g（x）_min=g（-2）=2k+1，
②

k

2

-1＞2，即k＞6时，g（x）_min=g（2）=-2k+9，
③-2＜

k

2

-1＜2，即-2＜k＜6时，g（x）_min=g（

k

2

-1）=

4k-k2

4

．

点评：本题考查了求函数的解析式问题，考查了函数的最值问题，考查了分类讨论思想，是一道基础题．