Question

2．如图所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长是2，侧棱长是$\sqrt{3}$，D是AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求二面角D-BA₁-C₁的大小．

Answer 1

分析 （1）连结AB₁、A₁B，交于点M，连结DM，则DM∥B₁C，由此能证明B₁C∥平面A₁BD．
（2）取AB中点O，以OA为x轴，OM为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-BA₁-C₁的大小．

解答 证明：（1）连结AB₁、A₁B，交于点M，连结DM，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形AA₁B₁B是矩形，
∴M是AB₁的中点，
∵D是AC的中点，∴DM∥B₁C，
∵B₁C?平面A₁BD，DM?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD．
（2）取AB中点O，连结OC，OM，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长是2，侧棱长是$\sqrt{3}$，
∴OC⊥底面AA₁B₁B，OM⊥AB，
以OA为x轴，OM为y轴，OC为z轴，
建立空间直角坐标系，
A（1，0，0），C（0，0，$\sqrt{3}$），D（$\frac{1}{2}，0，\frac{\sqrt{3}}{2}$），
B（-1，0，0），A₁（1，$\sqrt{3}$，0），C₁（0，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（2，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（1，$\sqrt{3}，\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BD}$=（$\frac{3}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设平面DBA₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=2x+\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=\frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-2，-3），
设平面BA₁C₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=a+\sqrt{3}b+\sqrt{3}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=2a+\sqrt{3}b=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，-2，1），
设二面角D-BA₁-C₁的大小为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{16}•\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴θ=arccos$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴二面角D-BA₁-C₁的大小为arccos$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．