Question

20．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α为参数），曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+cosθ}\\{y=4+sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（1）化C₁、C₂的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C₂上的点P对应的参数为θ=$\frac{π}{2}$，Q为C₁上的动点，求PQ中点M到直线C₃：ρ（cosβ-sinβ）=6距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α为参数），利用平方关系可得普通方程．曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+cosθ}\\{y=4+sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用平方关系可得普通方程．
（2）由已知P（3，4），Q$（cosα，\sqrt{3}sinα）$，M$（\frac{3+cosα}{2}，\frac{4+\sqrt{3}sinα}{2}）$，直线C₃：ρ（cosβ-sinβ）=6，利用互化公式可得直角坐标方程．再利用点到直线的距离公式、和差公式、三角函数的单调性与值域即可得出．

解答 解：（1）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α为参数），
利用平方关系可得：${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，是焦点在y轴上的椭圆．
曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+cosθ}\\{y=4+sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
利用平方关系可得：（x-3）²+（y-4）²=1，是以（3，4）为圆心，1为半径的圆．
（2）由已知P（3，4），Q$（cosα，\sqrt{3}sinα）$，M$（\frac{3+cosα}{2}，\frac{4+\sqrt{3}sinα}{2}）$，
直线C₃：ρ（cosβ-sinβ）=6，化为直角坐标方程：x-y-6=0．
d=$\frac{|\frac{3+cosα}{2}-\frac{4+\sqrt{3}sinα}{2}-6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（α-\frac{π}{6}）+13|}{2\sqrt{2}}$≤$\frac{15\sqrt{2}}{4}$．当sin$（α-\frac{π}{6}）$=1时取等号．
∴PQ中点M到直线C₃：ρ（cosβ-sinβ）=6距离的最大值是$\frac{15\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、和差公式、三角函数的单调性与值域即可得出，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．