Question

12．若x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，如[-1.5]=2，[5.1]=5，设{x}=x-[x]，则对函数f（x）={x}，下列说法正确的是①②④
①定义域是R，值域为[0，1）；
②它是以1为周期的周期函数；
③若方程f（x）=kx+k有三个不同的根，则实数k的取值范围是（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{4}$]∪[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$）；
④若n≤x₁≤x₂＜n+1（n∈Z），则f（x₁）≤f（x₂）．

Answer 1

分析 根据[x]的定义，结合f（x）的解析式，利用当n≤x＜n+1时，f（x）=x-n这一特征分别进行判断即可．

解答 解：①函数f（x）定义域为R，假设n≤x＜n+1，则f（x）=x-n∈[0，1），即①正确；
②假设n≤x＜n+1，n+1≤x＜n+2（n∈Z），则f（x）=x-n，f（x+1）=x+1-n-1=x-n，即f（x）=f（x+1），②正确；
③方程f（x）=kx+k有三个不同的根，即函数f（x）的图象与直线y=kx+k有三个不同交点，结合图象可知，k的取值范围应为$（-1，-\frac{1}{2}]∪[\frac{1}{4}，\frac{1}{3}）$，即③错误；
④若n≤x₁≤x₂＜n+1（n∈Z），则f（x₁）=x₁-n，f（x₂）=x₂-n，故f（x₁）≤f（x₂），④正确．
故答案为：①②④

点评 本题主要考查命题的真假判断，利用[x]的意义，利用当n≤x＜n+1时，f（x）=x-n这一特征是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．