Question

7．已知f（x）=|ax-1|+|ax-3a|（a＞0）．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥5的解集；
（2）若不等式f（x）≥5的解集为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，利用绝对值的几何意义，求不等式f（x）≥5的解集；
（2）若不等式f（x）≥5的解集为R，求出f（x）的最小值，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，$f（x）=|{x-1}|+|{x-3}|=\left\{{\begin{array}{l}{2x-4，\;（x≥3）}\\{2，\;（1≤x＜3）}\\{4-2x，\;（x＜1）}\end{array}}\right.$，
易得f（x）≥5解集为$\left\{{x|x≥\frac{9}{2}或x≤-\frac{1}{2}}\right\}$．　　（5分）
（2）f（x）=|ax-1|+|ax-3a|≥|ax-1-（ax-3a）|=|3a-1|．
∵f（x）≥5解集为R，∴|3a-1|≥5恒成立，
∵a＞0，∴a≥2． （10分）

点评 本题考查绝对值不等式，考查函数的最值，正确转化是关键．