Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是C上一点，PF₂⊥x轴，∠PF₁F₂的正切值为

3

4

．
（Ⅰ）求C的离心率e；
（Ⅱ）过点F₂的直线l与C交于M、N两点，若△F₁MN面积的最大值为3，求C的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出

b2 a

2c

=

3

4

，即6ac=4a²-4c²，由此能求出椭圆的离心率．
（Ⅱ）设椭圆C的方程为

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，设直线MN的方程为x=my+c，代入椭圆方程，得（4+3m²）y²+6mcy-9c²=0，由此利用韦达定理和三角形的面积能求出椭圆C的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，
P是C上一点，PF₂⊥x轴，∠PF₁F₂的正切值为

3

4

，
∴

b2 a

2c

=

3

4

，整理，得6ac=4a²-4c²，
∴4e²+6e-4=0，解得e=

1

2

，或e=2（舍），
∴e=

1

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）设椭圆C的方程为

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，
依题意，设直线MN的方程为x=my+c，
代入椭圆方程，得（4+3m²）y²+6mcy-9c²=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁+y₂=

-6mc

4+3m2

，y₁y₂=

-6c2

4+3m2

，
∴△F₁MN的面积S=

1

2

•|F1F2|•|y₁-y₂|=c|y₁-y₂|
=c

(y1+y2)2-2y1y2

=12c²

m2+1 (4+3m2)2

，
令t=m²+1，则t≥1，
∴h（t）=

m2+1

(4+3m2)2

=

t

9t2+6t+1

=

1

9t+ 1 t +6

，
∵h（t）在[1，+∞）上递减，∴h_max（t）=h（1）=

1

16

，
∴S的最大值为12c²×

1

4

=3，c²=1，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．

点评：本题考查椭圆的离心率和椭圆方程的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用，要熟练掌握椭圆的简单性质．