Question

求证：当x≥4时，

x

＞lnx．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：设函数f(x)=

x

-lnx(x＞0)，则f′(x)=

1

2

×

1

x

-

1

x

=

x -2

2x

，令f'（x）=0，求出函数f（x）的单调区间，从而证明

x

＞lnx成立．

解答： 证明：

x

＞lnx等价于

x

-lnx＞0
设函数f(x)=

x

-lnx(x＞0)，
则f′(x)=

1

2

×

1

x

-

1

x

=

x -2

2x

，
令f'（x）=0，解得x=4，
当x＞4时，f'（x）＞0，
当x＜4时，f'（x）＜0，
∴当x=4，f（x）取得极小值，
∴f（x）的单调递增区间是[4，+∞），
f（x）≥f（4）．
又当x=4时，f（x）=f（4）=2-ln4＞0
∴x≥4时，f（x）＞0，
即

x

-lnx＞0，
∴

x

＞lnx成立．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，不等式的证明，本题属于中档题．