Question

设f（x）=

a

ex

+blnx．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x+1，求a，b的值；
（Ⅱ）当a=e，b=1时，求f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）对f（x）求导，根据f（x）在点（1，f（1））处的切线方程，求出a、b的值；
（Ⅱ）a=e，b=1时，求出f（x）的导数，利用导数来判定f（x）的单调区间，利用单调性求出f（x）的极小值．

解答： 解：（Ⅰ）对f（x）求导，得f′(x)=

b

x

-

a

ex

；
由f′(1)=b-

a

e

=1，f(1)=

a

e

=1+1=2，
解得a=2e，b=3；
（Ⅱ）∵函数f（x）的定义域是（0，+∞），
当a=e，b=1时，f(x)=

e

ex

+lnx，f′(x)=

1

x

-

e

ex

=

ex-ex

xex

；
令g（x）=e^x-ex，求导得g'（x）=e^x-e；
当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，则f'（x）＜0，f（x）是减函数；
当x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，则f'（x）＞0，f（x）是增函数；
∴f（x）的单调增区间是（1，+∞），减区间是（0，1）；
∴当x=1时，f（x）有极小值f（1）=1．

点评：本题考查了导数的综合应用问题，解题时应利用导数来研究函数的单调性，并且利用函数的单调性来求函数的极值，是综合性题目．