Question

已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：
①f（0）=f（1）=0；
②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）-f（y）|＜

1

2

|x-y|．
若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）-f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  1

  4

• C、

  1

  2π

• D、

  1

  8

Answer 1

考点：函数恒成立问题,绝对值不等式的解法

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：依题意，构造函数f（x）=

kx，0≤x≤ 1 2 k-kx， 1 2 ≤x≤1

（0＜k＜

1

2

），分x∈[0，

1

2

]，且y∈[0，

1

2

]；x∈[0，

1

2

]，且y∈[

1

2

，1]；y∈[0，

1

2

]，且y∈[

1

2

，1]；及当x∈[

1

2

，1]，且y∈[

1

2

，1]时，四类情况讨论，可证得对所有x，y∈[0，1]，|f（x）-f（y）|＜

1

4

恒成立，从而可得m≥

1

4

，继而可得答案．

解答： 解：依题意，定义在[0，1]上的函数y=f（x）的斜率|k|＜

1

2

，
依题意，k＞0，构造函数f（x）=

kx，0≤x≤ 1 2 k-kx， 1 2 ≤x≤1

（0＜k＜

1

2

），满足f（0）=f（1）=0，|f（x）-f（y）|＜

1

2

|x-y|．
当x∈[0，

1

2

]，且y∈[0，

1

2

]时，|f（x）-f（y）|=|kx-ky|=k|x-y|≤k|

1

2

-0|=k×

1

2

＜

1

4

；
当x∈[0，

1

2

]，且y∈[

1

2

，1]，|f（x）-f（y）|=|kx-（k-ky）|=|k（x+y）-k|≤|k（1+

1

2

）-k|=

k

2

＜

1

4

；
当y∈[0，

1

2

]，且x∈[

1

2

，1]时，同理可得，|f（x）-f（y）|＜

1

4

；
当x∈[

1

2

，1]，且y∈[

1

2

，1]时，|f（x）-f（y）|=|（k-kx）-（k-ky）|=k|x-y|≤k×（1-

1

2

）=

k

2

＜

1

4

；
综上所述，对所有x，y∈[0，1]，|f（x）-f（y）|＜

1

4

，
∵对所有x，y∈[0，1]，|f（x）-f（y）|＜m恒成立，
∴m≥

1

4

，即m的最小值为

1

4

．
故选：B．

点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查构造函数思想、分类讨论思想、函数方程思想与等价转化思想的综合运用，考查分析、推理及运算能力，属于难题．