Question

【题目】已知椭圆：（）经过点，且两个焦点，的坐标依次为和.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设，是椭圆上的两个动点，为坐标原点，直线的斜率为，直线的斜率为，若，证明：直线与以原点为圆心的定圆相切，并写出此定圆的标准方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】分析：（Ⅰ）根据题意，由椭圆的定义可得

2a＝计算可得a的值，由椭圆的几何性质可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程可得答案；

（2）设直线EF的方程为y=kx+b，E（x1，y1），F（x2，y2），联立直线EF与椭圆方程，可得（3+4k2）x2+8kbx+4b2-12=0，分析可得（kx1+b）（kx2+b）=-x1x2，整理得(k2+1)x1x2+bk(x1+x2)+b2＝0，由直线与圆的位置关系分析可得结论．

详解：

（1）由椭圆定义得，即，

又，所以，

所以椭圆的标准方程为.

（2）设直线的方程为，，，

直线的方程与椭圆方程联立，消去得，

当时，得，，

由已知，即，因为点，在直线上，

所以，整理得，

即，化简得，

原点到直线的距离，，

所以直线与一个定圆相切，定圆的标准方程为.