题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
⊥底面
,
⊥
,
∥
,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.
(1)证明:BE⊥DC;
(2)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F-AB-P的余弦值.
【答案】(1)解析(2)
【解析】试题分析:(Ⅰ)以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,求出 =(0,1,1),
=(2,0,0),由
.
=0,能证明BE⊥DC;(Ⅱ)由BF⊥AC,求出
,进而求出平面FBA的法向量和平面ABP的法向量,由此利用向量法能求出二面角F﹣AB﹣P的余弦值.
详解: (1)以点为原点建立空间直角坐标系如图,可得
,
,
,
由为棱
的中点,得
,故
,
所以·
=0,所以BE⊥DC.
(2) ,
,
,
由点在棱
上,设
=λ
,
,
故=
+
=
+λ
=(1-2λ,2-2λ,2λ).
由BF⊥AC,得·
=0,因此2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ=
,
即=
设为平面
的法向量,
则,即
不妨令z=1,可得为平面FAB的一个法向量.取平面
的法向量
,
则cos〈n1,n2〉==
=-
.
易知,二面角是锐角,所以余弦值为
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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