题目内容
【题目】设函数其中P,M是非空数集.记f(P)={y|y=f(x),x∈P},f(M)={y|y=f(x),x∈M}.
(Ⅰ)若P=[0,3],M=(﹣∞,﹣1),求f(P)∪f(M);
(Ⅱ)若P∩M=,且f(x)是定义在R上的增函数,求集合P,M;
(Ⅲ)判断命题“若P∪M≠R,则f(P)∪f(M)≠R”的真假,并加以证明.
【答案】(Ⅰ)[0,+∞);(Ⅱ)P=(﹣∞,0)∪(0,+∞),M={0};(Ⅲ)真命题,证明见解析
【解析】
(Ⅰ)求出f (P)=[0,3],f (M)= (1,+∞),由此能过求出f (P)∪f (M).
(Ⅱ)由f (x)是定义在R上的增函数,且f (0)=0,得到当x<0时,f (x)<0, (﹣∞,0)P. 同理可证 (0,+∞)P. 由此能求出P,M.
(Ⅲ)假设存在非空数集P,M,且P∪M≠R,但f (P)∪f (M)=R.证明0∈P∪M.推导出f (﹣x0)=﹣x0,且f (﹣x0)=﹣ (﹣x0)=x0,由此能证明命题“若P∪M≠R,则f (P)∪f (M)≠R”是真命题.
(Ⅰ)因为P=[0,3],M=(﹣∞,﹣1),
所以f(P)=[0,3],f(M)=(1,+∞),
所以f(P)∪f (M)=[0,+∞).
(Ⅱ)因为f (x)是定义在R上的增函数,且f (0)=0,
所以当x<0时,f (x)<0,
所以(﹣∞,0)P. 同理可证(0,+∞)P.
因为P∩M=,
所以P=(﹣∞,0)∪(0,+∞),M={0}.
(Ⅲ)该命题为真命题.证明如下:
假设存在非空数集P,M,且P∪M≠R,但f (P)∪f (M)=R.
首先证明0∈P∪M.否则,若0P∪M,则0P,且0M,
则0f (P),且0f (M),
即0f (P)∪f (M),这与f (P)∪f (M)=R矛盾.
若x0P∪M,且x0≠0,则x0P,且x0M,
所以x0f (P),且﹣x0f (M).
因为f (P)∪f (M)=R,
所以﹣x0∈f (P),且x0∈f (M).
所以﹣x0∈P,且﹣x0∈M.
所以f (-x0)=﹣x0,且f (-x0)=﹣(﹣x0)=x0,
根据函数的定义,必有﹣x0=x0,即x0=0,这与x0≠0矛盾.
综上,该命题为真命题.