Question

不等式

x2

p

+qx+p＞0的解集是{x|2＜x＜4}，求实数p+q=

 

．

Answer 1

考点：一元二次不等式的应用

专题：不等式的解法及应用

分析：由条件可知p＜0，且2，4是方程

x2

p

+qx+p=0的两根，根据根的定义可得两方程，解出p，q即可得p+q的值．

解答： 解：∵不等式

x2

p

+qx+p＞0的解集是{x|2＜x＜4}，
∴p＜0，且2，4是方程

x2

p

+qx+p=0的两根，
∴

4 p +2q+p=0 16 p +4q+p=0

即

p2+2pq+4=0 p2+4pq+16=0

，
上面两式相减得，2pq=-12，
∴p²=8，p=±2

2

，
∵p＜0，∴p=-2

2

，
∴q=

6

2 2

=

3 2

2

．
∴p+q=-2

2

+

3 2

2

=-

2

2

．
故答案为：-

2

2

．

点评：本题主要考查一元二次不等式的解法和运用，考查已知不等式的解集求参数的取值，注意运用二次方程的知识，本解法运用的是根的定义，还可以运用韦达定理，即2+4=-pq，2×4=p²，求解更简洁，值得重视．