Question

已知椭圆

x2

2

+y2=1右焦点为F₂，过F₂的直线l交椭圆于A，B两点．若椭圆上一点P可使

OA

+

OB

+

OP

=

0

，求P点坐标．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：过F₂的直线l的方程为y=k（x-1），由

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，得：（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

4k2

2k2+1

，y₁+y₂=-

2k

2k2+1

，设P（m，n），由

OA

+

OB

+

OP

=

0

，P（m，n）在椭圆上，推导出

(- 4k2 2k2+1 )2

2

+(

2k

2k2+1

)2=1，由此能求出P点坐标．

解答： 解：∵椭圆

x2

2

+y2=1右焦点为F₂（1，0），
∴过F₂的直线l的方程为x=1或y=k（x-1），
当x=1时，

OA

+

OB

=

OF

，使

OA

+

OB

+

OP

=

0

的点P不存在，
∴x=1不成立．
联立

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，消去y，并整理，得：（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

4k2

2k2+1

，x₁x₂=

2k2-2

2k2+1

，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k=

4k3

2k2+1

-

4k3+2k

2k2+1

=-

2k

2k2+1

，
设P（m，n），∵

OA

+

OB

+

OP

=

0

，P（m，n）在椭圆上，
∴

m=- 4k2 2k2+1 n= 2k 2k2+1

，且

(- 4k2 2k2+1 )2

2

+(

2k

2k2+1

)2=1，
解得k=±

1

2

，
当k=

2

2

时，m=-1，n=

2

2

，P（-1，

2

2

）；
当k=-

2

2

时，m=-1，n=-

2

2

，P（-1，-

2

2

）．
∴P点坐标为P（-1，

2

2

）或P（-1，-

2

2

）．

点评：本题考查椭圆上的点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量知识和椭圆性质的灵活运用．