Question

已知两个非零向量

a

=（m-1，n-1）和

b

（m-3，n-3），若cos＜

a

，

b

＞≤0，则m+n的取值范围是（　　）

• A、[

  2

  ，3

  2

  ]
• B、[2，6]
• C、（

  2

  ，3

  2

  ）
• D、（2，6）

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,数量积表示两个向量的夹角

专题：计算题,不等式的解法及应用,平面向量及应用

分析：运用向量的夹角公式，可得，（m-1）（m-3）+（n-1）（n-3）≤0，化简配方，再令m-2=rcosα，n-2=rsinα，求得r的范围，再代入m+n，化简整理，运用两角和的正弦公式，结合正弦函数的值域，即可得到．

解答： 解：由于

a

•

b

=（m-1）（m-3）+（n-1）（n-3），
且m≠1，n≠1，m≠3，n≠3，
又cos＜

a

，

b

＞≤0，则（m-1）（m-3）+（n-1）（n-3）≤0，
即有（m-2）²+（n-2）²≤2，
可令m-2=rcosα，n-2=rsinα，代入上式，可得，-

2

≤r≤

2

，
则m+n=4+r（cosα+sinα）=4+

2

rsin（α+

π

4

），
由于sinα和cosα不能相等或相反，∴-1＜sin（α+

π

4

）＜1，
则有4-2＜m+n＜4+2，即有2＜m+n＜6．
故选D．

点评：本题考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，正弦函数的值域，得到（m-2）²+（n-2）²≤2，是解题的关键．