Question

在△ABC中，三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知内角C为钝角，向量

m

=（2sinA，-1），

n

=（sinA，cos2A+2）且

m

⊥

n

．
（1）试求角A的大小；
（2）试比较b+c与

3

a的大小．

Answer 1

考点：解三角形

专题：综合题,解三角形

分析：（1）利用二倍角公式对原式化简整理求得cos2A的值，进而根据A的范围求得A的值．
（2）根据（1）中A的值，进而可推断出B的范围，△ABC的外接圆半径为R，进而利用正弦定理把b+c-

3

a转化成角的正弦，然后利用两角和公式展开后化简整理，进而根据B的范围确定b+c-

3

a＜0，进而推断出b+c与

3

a的大小．

解答： 解：（1）由向量

m

=（2sinA，-1），

n

=（sinA，cos2A+2）且

m

⊥

n

，
可得2sin²A-cos2A-2=0，得cos2A=-

1

2

，
又0＜A＜

π

2

，则2A=

2π

3

，故A=

π

3

；
（2）由（1）及已知得B+C=

2π

3

，又C∈（

π

2

，π），可得0＜B＜

π

6

设△ABC的外接圆半径为R，则b+c-

3

a=2R（sinB+sinC-

3

2

）
=2R[sinB+sin（

2π

3

-B）-

3

2

]
=2R（sinB+sin

2π

3

cosB-cos

2π

3

sinB-

3

2

）
=2R（

3

2

sinB+

3

2

cosB-

3

2

）=2

3

R[sin（B+

π

6

）-

3

2

]，
∵0＜B＜

π

6

，
∴

π

6

＜B+

π

6

＜

π

3

，
∴

1

2

＜sin（B+

π

6

）＜

3

2

，
∴b+c＜

3

a．

点评：本题主要考查了二倍角公式的化简求值，正弦定理的应用和正弦函数的性质．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．