Question

20．在直角坐标系xOy中，直线l₁：x=-2，曲线$C：\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2+2sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l₁及曲线C的极坐标方程；
（2）若直线l₂的极坐标方程为$θ=\frac{π}{4}$（ρ∈R），设l₂与曲线C的交点为M，N，求△CMN的面积及l₁与l₂交点的极坐标．

Answer 1

分析 （1）由直线L₁：x=-2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出直线L₁的极坐标方程，由曲线$C：\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2+2sinθ\end{array}\right.$（θ为参数）的圆心C（0，2），半径r=2，能求出曲线C的极坐标方程．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}ρ=4sinθ\\ θ=\frac{π}{4}\end{array}\right.$，得$|MN|=2\sqrt{2}$，由曲线C是半径为r=2的圆，得CM⊥CN，由此能求出△CMN的面积及l₁与l₂交点的极坐标．

解答 解：（1）∵直线L₁：x=-2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴直线L₁的极坐标方程为：ρcosθ+2=0，
∵曲线$C：\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2+2sinθ\end{array}\right.$（θ为参数）的圆心C（0，2），半径r=2，
∴曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}ρ=4sinθ\\ θ=\frac{π}{4}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}ρ=0\\ θ=\frac{π}{4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}ρ=2\sqrt{2}\\ θ=\frac{π}{4}\end{array}\right.$
∴$|MN|=2\sqrt{2}$，
∵曲线C是半径为r=2的圆，
∴CM⊥CN，
∴${S_{△CMN}}=\frac{1}{2}{r^2}=2$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}ρcosθ+2=0\\ θ=\frac{π}{4}\end{array}\right.$得两直线交点的极坐标为$（-2\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$．

点评 本题考查直线、曲线的极坐标方程的求法，考查点的极坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的合理运用．