Question

12．已知曲线C的参数方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}$（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A、B的极坐标分别为A（2，π）、B（2，$\frac{4π}{3}$）．
（1）求直线AB的直角坐标方程；
（2）设M为曲线C上的动点，求点M到直线AB距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）将A（2，π）、B（2，$\frac{4π}{3}$），分别化为直角坐标为A（2cosπ，2sinπ），B$（2cos\frac{4π}{3}，2sin\frac{4π}{3}）$，利用斜率计算公式、点斜式即可得出．
（2）利用点到直线的距离公式、三角函数的单调性与值域即可得出．

解答 解：（1）将A（2，π）、B（2，$\frac{4π}{3}$），分别化为直角坐标为A（2cosπ，2sinπ），B$（2cos\frac{4π}{3}，2sin\frac{4π}{3}）$，
即A，B的直角坐标分别为A（-2，0），B（-1，-$\sqrt{3}$），
k_AB=$\frac{-\sqrt{3}-0}{-1+2}$=-$\sqrt{3}$，
∴直线AB的方程为y=-$\sqrt{3}$（x+2），
即AB的方程为$\sqrt{3}$x+y+2$\sqrt{3}$=0．
（2）设M（2cosθ，sinθ），它到直线AB距离d=$\frac{|2\sqrt{3}cosθ+sinθ+2\sqrt{3}|}{2}$=$\frac{|\sqrt{13}sin（θ+φ）+2\sqrt{3}|}{2}$≤$\frac{\sqrt{13}+2\sqrt{3}}{2}$，当sin（θ+φ）=1时取等号．
∴点M到直线AB距离的最大值是$\frac{\sqrt{13}+2\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标、点斜式、点到直线的距离公式、三角函数的单调性与值域、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．