Question

2．用长为18m的钢条围成一个长方体框架，要求长方形的长与宽之比为2：1，则该长方体的体积最大值为3m³．

Answer 1

分析 根据题意知，长方体的所有棱长和是18m，故可设出宽，用宽表示出长和高，将体积表示成宽的函数，用导数来求其最大值即可．

解答 解：设该长方体的宽是x米，由题意知，其长是2x米，高是$\frac{9}{2}$-3x米，（0＜x＜$\frac{3}{2}$）
则该长方体的体积V（x）=x•2x•（$\frac{9}{2}$-3x）=-6x³+9x²，
由V′（x）=-18x²+18x=0，得到x=1，
当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜$\frac{3}{2}$时，V′（x）＜0，
即体积函数V（x）在x=1处取得极大值V（1）=3，
也是函数V（x）在定义域上的最大值．
所以该长方体体积最大值是3．
故答案为：3．

点评 本小题主要考查长方体的体积及用导数求函数最值等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力．