Question

20．定义在R上的偶函数f（x）满足对任意x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=-x²+6x-9，若函数y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有3个零点，则实数a的取值范围是0＜a＜$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 利用函数是偶函数，求出f（1）=0，然后得出函数的周期，利用函数的周期性，由y=f（x）-log_a（x+1）=0得到f（x）=log_a（x+1），分别作出函数y=f（x）和y=log_a（x+1）的图象，利用图象确定a的取值范围．

解答 解：∵偶函数f（x）满足对任意x∈R，
有f（x+2）=f（x）-f（1），
∴令x=-1得f（-1+2）=f（-1）-f（1），
即f（1）=f（1）-f（1）=0，
则f（x+2）=f（x）-f（1）=f（x），
即函数是周期为2的周期函数，
若x∈[0，1]，则x+2∈[2，3]，
则f（x）=f（x+2）=-（x-1）²，
当x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，
∵函数f（x）是偶函数，
∴f（x）=f（-x）=-（x+1）²，
由y=f（x）-log_a（x+1）=0
得到f（x）=log_a（x+1），
分别作出函数y=f（x）和
g（x）=log_a（x+1）的图象，
若a＞1，则不满足条件（图1）
如0＜a＜1，要使函数y=f（x）-log_a（x+1）
在（0，+∞）上至少有三个零点，
则满足当x=2时，f（2）=-1，g（2）＞-1，
即log_a（2+1）＞-1，log_a3＞-1，
解得0＜a＜$\frac{1}{3}$．
故答案为：0＜a＜$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查函数零点应用，利用数形结合，将方程转化为两个函数图象的相交问题是解决此类问题的基本方法．综合性较强．