Question

1．已知正四面体ABCD的棱长为1，如果一高为$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$的长方体能在该正四面体内任意转动，则该长方体的长和宽形成的长方形面积的最大值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{6}$
• C． $\frac{1}{12}$
• D． $\frac{1}{24}$

Answer 1

分析 要满足一高为$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$的长方体能在该正四面体内任意转动，则长方体的对角线长不超过正四面体的内切球的直径．利用正四面体的性质可得内切球的半径，利用长方体的对角线与内切球的直径的关系、基本不等式的性质即可得出．

解答 解：设正四面体S-ABCD如图所示．
可得它的内切球的球心0必定在高线SH上，
延长AH交BC于点D，则D为BC的中点，连接SD，
则内切球切SD于点E，连接AO．
∵H是正三角形ABC的中心，
∴AH：HD=2：1，
∵Rt△0AH∽Rt△DSH，
∴$\frac{OA}{OH}=\frac{DS}{DH}$=3，可得OA=30H=S0
因此，SH=4OH，可得内切球的半径R=OH=$\frac{1}{4}$SH．
∵正四面体棱长为1，
∴Rt△SHD中，SD=$\sqrt{S{H}^{2}+H{D}^{2}}$=，$\sqrt{（4R）^{2}+（\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得R²=$\frac{1}{24}$．
要满足一高为$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$的长方体能在该正四面体内任意转动，
则长方体的对角线长不超过正四面体的内切球的直径，
设该长方体的长和宽分别为x，y，
该长方体的长和宽形成的长方形面积为S．
∴4R²≥$（\frac{\sqrt{3}}{6}）^{2}$+x²+y²，
∴x²+y²≤$\frac{1}{12}$，
∴S=xy≤$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$=$\frac{1}{24}$．
故选：D．

点评 本题考查了正四面体的性质、勾股定理、正三角形的性质、长方体的对角线与其外接球的直径之间的关系，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．