Question

顶点在原点，焦点在y轴的抛物线经过点A（1，

1

4

）．
（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标；
（Ⅱ）求抛物线在点A处的切线方程．

Answer 1

考点：抛物线的标准方程,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设出抛物线方程，利用经过点A（1，

1

4

），求出抛物线中的参数，即可得到抛物线方程，从而可得抛物线的焦点F的坐标；
（Ⅱ）求出抛物线在点A处的切线斜率，即可求抛物线在点A处的切线方程．

解答： 解：（Ⅰ）因为抛物线C的顶点在原点，焦点在y轴上，设标准方程为x²=2py，
因为点A（1，

1

4

）在抛物线上，所以1=

1

2

p，
所以p=2，抛物线的焦点F的坐标（0，1）；
（Ⅱ）抛物线方程为：x²=4y，即y=

1

4

x2，
∴y′=

1

2

x，
x=1时，y′=

1

2

，
∴抛物线在点A处的切线方程为y-

1

4

=

1

2

（x-1），即2x-4y-1=0．x

点评：本题是基础题，考查抛物线的标准方程的求法，考查导数的几何意义，注意标准方程的形式．