Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，AD=3，BC=2，AB=

3

，E、F为AD上的两个三等分点，G、H分别为线段AB，BC的中点，将△ABE沿直线BE翻折成△A₁BE，使平面A₁BE⊥平面BCDE．
（1）求证：A₁D∥平面FGH；
（2）直线A₁D与平面A₁BE所成角；
（3）过点A₁作平面α与线段BC交于点J，使得平面α垂直于BC，求CJ的长度．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知得BC=2=ED且BC∥ED，推断出四边形BCDE为平行四边形，进而根据H、F为BC、ED的中点，设BD∩HF=O，得出O为BD的中点，连GO，可知G为A₁B中点，进而推断出OG∥A₁D又最后利用线面平行的判定定理证明结论．
（Ⅱ）在平面BCD内过点D作DM⊥BE，交BE延长线于点M，连A₁M，由已知平面A₁BE⊥平面BCDE，且BE为两平面的交线，推断出DM⊥平面A₁BE，进而可知∠DA₁M即为直线A₁D与平面A₁BE所成的二面角．在△DEM中，由DE，∠DEM可求得DM=

3

；在△A₁EM中，A₁E，EM，∠A₁EM求得A1M=

3

从而求得tan∠DA1M=

DM

A1M

=

3

3

=1，则∠DA₁M可求得．
（ III）过A₁作A₁K⊥BE交BE于K，则由平面A₁BE⊥平面BCDE．可得A₁K⊥平面BCDE，从而BC⊥A₁K，过K作KM⊥BC交BC于M，则BC⊥平面A₁KM，由于过A₁且与BC垂直的平面是唯一的，所以平面A₁KM即平面α，点M即点J，在Rt△ABE中，BK已知进而求得BJ和CJ．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得BC=2=ED且BC∥ED，
∴四边形BCDE为平行四边形，
H、F为BC、ED的中点，设BD∩HF=O，
∴O为BD的中点，连GO，
∴G为A₁B中点，
∴OG∥A₁D
又GO?平面FGH，
∴A₁D∥平面FGH．
（Ⅱ）（Ⅱ）在平面BCD内过点D作DM⊥BE，交BE延长线于点M，连A₁M，
∵平面A₁BE⊥平面BCDE，且BE为两平面的交线，
∴DM⊥平面A₁BE，
∴∠DA₁M即为直线A₁D与平面A₁BE所成的二面角
在△DEM中，由DE=2，∠DEM=60°，
∴DM=

3

在△A₁EM中，A₁E=1，EM=1，∠A₁EM=120°，
∴A1M=

3

，
∴tan∠DA1M=

DM

A1M

=

3

3

=1，
∴∠DA1M=

π

4

，
即直线A₁D与平面A₁BE所成的角为

π

4

．
（ III）过A₁作A₁K⊥BE交BE于K，
∵平面A₁BE⊥平面BCDE．
∴A₁K⊥平面BCDE，
∴BC⊥A₁K，
过K作KM⊥BC交BC于M，则BC⊥平面A₁KM，由于过A₁且与BC垂直的平面是唯一的，
∴平面A₁KM即平面α，点M即点J，
在Rt△ABE中，BK=

3

2

，
∴在Rt△BKJ中，BJ=

1

2

BK=

3

4

，
∴CJ=

5

4

．

点评：本题主要考查了线面平行的判定定理，线面垂直的性质和判定定理以及二面角的相关知识．在解决二面角的问题时，常做出二面角通过平面几何的知识来解决．