Question

棱长是1的正方体，P、Q分别是棱AB、CC₁的中点，
（1）求证：A₁P⊥平面AQD；
（2）求直线PQ与平面AQD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）要证A₁P⊥平面AQD，只需要证明A₁P⊥AD，AR⊥A₁P，利用三角形的全等可得AR⊥A₁P，从而得证．
（2）求直线PQ与平面AQD所成角的正弦值，关键是寻找斜线PQ在平面内的射影，由（1）易得A₁P与AR交于点S，连接SQ，则∠PQS即为PQ与平面AQD所成角，从而可解．

解答： （1）证明：平面AQD与侧棱B₁B的交点是R，则R是B₁B的中点．
在正方形ABB₁A₁中，P是棱AB的中点，可得△A₁AP≌△ABR，
所以AR⊥A₁P，
又AD⊥平面ABB₁A₁，A₁P?平面ABB₁A₁，得A₁P⊥AD，AD∩AR=A，
所以A₁P⊥平面AQD
（2）解：设A₁P与AR交于点S，连接SQ，则∠PQS=θ即为PQ与平面AQD所成角．
在Rt△PQS中，|PS|=

4

3 13

，|PQ|=

14

3

，∴sinθ=

|PS|

|PQ|

=

2 182

91

，
即直线PQ与平面AQD所成角的正弦值是

2 182

91

．

点评：本题的考点是直线与平面所成的角，主要考查线面垂直，考查线面角，关键是利用线面垂直的定义，寻找斜线在平面内的射影．