Question

已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若S_△ABC=

a2-(b-c)2

2

．
（1）求cosA的值；
（2）若S=10，求bc的值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用三角形面积公式及余弦定理化简已知等式得到sinA=-2cosA+2，与sin²A+cos²A=1联立求出cosA的值即可；
（2）由cosA的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinA的值，利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积S与sinA的值代入，即可求出bc的值．

解答： 解：（1）∵S_△ABC=

1

2

bcsinA，cosA=

b2+c2-a2

2bc

，即a²-b²-c²=-2bccosA，且S_△ABC=

a2-(b-c)2

2

，
∴

1

2

bcsinA=

a2-b2-c2+2bc

2

=

-2bccosA+2bc

2

=-bccosA+bc，即

1

2

sinA=-cosA+1，
整理得：sinA=-2cosA+2，
∵sin²A+cos²A=1，
∴（-2cosA+2）²+cos²A=1，即5cos²A-8cosA+3=0，
解得：cosA=

3

5

或cosA=1（不合题意，舍去），
则cosA=

3

5

；
（2）∵cosA=

3

5

，A为三角形的内角，
∴sinA=

1-cos2A

=

4

5

，
∵S=

1

2

bcsinA=10，
∴bc=25．

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．