Question

4．在△ABC中，$\overrightarrow{AB}$=（cos$\frac{3x}{2}$，-sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow{AC}$=（cos$\frac{x}{2}$，sin$\frac{x}{2}$），其中x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]．
（I）若x=$\frac{π}{6}$，求|$\overrightarrow{BC}$|；
（II）记△ABC的边BC上的高为h，若函数f（x）=|$\overrightarrow{BC}$|²+λ•h的最大值是5，求常数λ的值．

Answer 1

分析 （I）求出$\overrightarrow{BC}$的坐标，得出|$\overrightarrow{BC}$|关于x的函数并化简，即可得出答案；
（II）利用勾股定理计算h，化简f（x）解析式，根据二次函数的性质讨论λ的范围，得出f（x）的最大值，根据最大值列方程解出λ的值．

解答 解：（I）$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$=（cos$\frac{x}{2}$-cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{x}{2}$+sin$\frac{3x}{2}$），
∴|$\overrightarrow{BC}$|²=（cos$\frac{x}{2}$-cos$\frac{3x}{2}$）²+（sin$\frac{x}{2}$+sin$\frac{3x}{2}$）²=2+2（sin$\frac{x}{2}$sin$\frac{3x}{2}$-cos$\frac{x}{2}$cos$\frac{3x}{2}$）=2-2cos2x=4sin²x，
∴|$\overrightarrow{BC}$|=2sinx．
∴当x=$\frac{π}{6}$时，|$\overrightarrow{BC}$|=1．
（II）∵|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|=1，∴△ABC是等腰三角形，又BC=2sinx，
∴h=$\sqrt{1-si{n}^{2}x}$=cosx，
∴f（x）=4sin²x+λcosx=-4cos²x+λcosx+4=-4（cosx-$\frac{λ}{8}$）²+4+$\frac{{λ}^{2}}{16}$．
∵$x∈[{\frac{π}{6}，\;\frac{π}{3}}]$，∴$\frac{1}{2}≤cosx≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
①若$\frac{λ}{8}＜\frac{1}{2}$即λ＜4，当$cosx=\frac{1}{2}$时，f（x）取得最大值为$\frac{λ}{2}+3=5$，
解得λ=4，与λ＜4矛盾，舍去．
②若$\frac{1}{2}≤\frac{λ}{8}≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}$即$4≤λ≤4\sqrt{3}$，当$cosx=\frac{λ}{8}$时，f（x）取得最大值4+$\frac{{λ}^{2}}{16}$=5，
解得λ=4．
③若$\frac{λ}{8}＞\frac{{\sqrt{3}}}{2}$即$λ＞4\sqrt{3}$，当$cosx=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$时，f（x）取得最大值$\frac{{\sqrt{3}λ}}{2}+1=5$，
解得$λ=\frac{{8\sqrt{3}}}{3}＜4\sqrt{3}$，舍去．
综上所述，λ=4．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的恒等变换，二次函数的性质，属于中档题．