Question

设函数f（x）=x|x-a|+b，a，b∈R
（1）若a=1，b=-

1

4

，求函数f（x）的零点；
（2）若函数f（x）在[0，1]上存在零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意得，x|x-1|-

1

4

=0，讨论去绝对值号求解即可；
（2）函数f（x）在[0，1]上存在零点，即x|x-a|=-b在[0，1]上有解，令g（x）=x|x-a|，只需-b∈{y|y=g（x），x∈[0，1]}；故讨论g（x）=x|x-a|的值域即可．

解答： 解：（1）由题意得，x|x-1|-

1

4

=0；
①当x≥1时，x（x-1）=

1

4

；
解得x=

1+ 2

2

；
②当x＜1时，x（1-x）=

1

4

；
解得x=

1

2

；
故函数f（x）的零点为

1+ 2

2

，

1

2

；
（2）函数f（x）在[0，1]上存在零点，即x|x-a|=-b在[0，1]上有解，
令g（x）=x|x-a|，只需-b∈{y|y=g（x），x∈[0，1]}；
当a≤0时，g（x）=x|x-a|=x（x-a）在[0，1]递增，
所以g（x）∈[0，1-a]，
即a-1≤b≤0；
当a≥1时，g（x）=x|x-a|=-x（x-a），对称轴x=

a

2

；
又当a≥2时，g（x）在[0，1]递增，所以g（x）∈[0，a-1]，
即1-a≤b≤0；
当1＜a＜2时，g（x）在[0，

a

2

]递增，[

a

2

，1]递减，
所以g（x）∈[0，

a2

4

]，
即-

a2

4

≤b≤0；
当0＜a＜1时，g（x）=x|x-a|=

-x2+ax，x∈[0，a] x2-ax，x∈[a，1]

；
易知，g（x）在[0，

a

2

]递增，[

a

2

，a]递减，[a，1]递减，
所以f（x）_min=0，f(x)max={f(a)，f(1)}={

a2

4

，1-a}，
当0＜a≤2(

2

-1)，f（x）_max=f（1）=1-a，
所以g（x）∈[0，1-a]，即a-1≤b≤0；
当2（

2

-1）＜a＜1，
f（x）_max=f（a）=

a2

4

，所以g（x）∈[0，

a2

4

]，
即-

a2

4

≤b≤0；
综上所述：当a≤2（

2

-1）时，a-1≤b≤0；
当2（

2

-1）＜a＜2，-

a2

4

≤b≤0；
当a≥2时，1-a≤b≤0．

点评：本题考查了绝对值函数的应用，特别考查了分类讨论的数学思想应用，注意分类的标准，属于难题．