Question

6．观察下列等式
$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i=cos$\frac{π}{3}$+isin$\frac{π}{3}$
（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）²=cos$\frac{2π}{3}$+isin$\frac{2π}{3}$
（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）³=cosπ+isinπ，
（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{4}}{2}$i）⁴=cos$\frac{4π}{3}$+isin $\frac{4π}{3}$，
…
照此规律，可以推测对于任意的n∈N^*，（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）ⁿ=cos$\frac{n}{3}$π+isin$\frac{n}{3}$π．

Answer 1

分析 通过式子的结构特点进行分析，左边是（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）的幂的形式，且次数逐项增加，右边都是同角的余正弦，且角是以$\frac{π}{3}$为公差的等差数列，由此可得结果．

解答 解：观察可知：
等式左边是以（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）为首项，公比为（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）的等比数列，
所以第n行等式左边为（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）ⁿ，右边每行都是同角的余弦加正弦，且角是以$\frac{π}{3}$首项，公差为$\frac{π}{3}$的等差数列，
所以第n行等式右边为cos$\frac{n}{3}$π+isin$\frac{n}{3}$π．
故答案为：cos$\frac{n}{3}$π+isin$\frac{n}{3}$π．

点评 这是一个考查归纳推理的问题，主要是从式子的结构特点入手分析，例如本题的右端是同角的余弦加正弦，且的角的规律为等差数列，本题不难．