Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），过点C（

3

，

1

2

）且离心率为

3

2

．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A，B，M是椭圆E上三点，且满足

OM

=

3

5

OA

+

4

5

OB

，点P是线段的中点，试问：点P是否在椭圆G：

x2

2

+2y²=1上？并证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用点C在椭圆上满足椭圆的方程及其离心率计算公式和a²=b²+c²即可得出；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程可得关系式．由

OM

=

3

5

OA

+

4

5

OB

，可得M的坐标，再代入椭圆可得关系式．利用中点坐标公式可得点P的坐标，代入椭圆G：

x2

2

+2y²=1验证即可．

解答： 解：（1）由过点C（

3

，

1

2

）且离心率为

3

2

．
可得

3 a2 + 1 4b2 =1 e= c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得a²=4，b²=1．
故所求椭圆E的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）点P在椭圆G：

x2

2

+2y2=1上．
证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x 2 1 4 + y 2 1 =1 x 2 2 4 + y 2 2 =1

①
由

OM

=

3

5

OA

+

4

5

OB

，得：M(

3

5

x1+

4

5

x2，

3

5

y1+

4

5

y2)，
∵M是椭圆E：

x2

4

+y2=1，
∴

1

4

(

3

5

x1+

4

5

x2)2+(

3

5

y1+

4

5

y2)2=1，

9

25

(

x 2 1

4

+

y

2 1

)+

16

25

(

x 2 2

4

+

y

2 2

)+

24

5

(

x1x2

4

+y1y2)=1．
由①得：

9

25

+

16

25

+

24

5

(

x1x2

4

+y1y2)=1，即

x1x2

4

+y1y2=0．
线段AB的中点P(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)，

( x1+x2 2 )2

2

+2(

y1+y2

2

)2=

(x1+x2)2

8

+

1

2

(y1+y2)2=

1

2

(

x 2 1

4

+

y

2 1

)+

x1x2

4

+y1y2+

1

2

(

x

2 2

+

y

2 2

)
=

1

2

+0+

1

2

=1．
∴点P在椭圆G：

x2

2

+2y2=1上．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、点在椭圆上满足椭圆的方程、中点坐标公式、向量的坐标运算等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．