Question

【题目】如图所示，已知抛物线y2＝8x的焦点为F，直线l过点F且依次交抛物线及圆2于A，B，C，D四点，则|AB|+4|CD|的最小值为_____．

Answer 1

【答案】13

【解析】

当直线l的斜率不存在时，计算出,

当直线l的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k（x﹣2） ，代入抛物线方程,利用韦达定理以及抛物线的定义可求得|AB|+4|CD|＝x1+4x2+5,再利用基本不等式可得最小值为13,比较可得答案.

抛物线y2＝8x的焦点为F（2，0），准线方程为x＝﹣2，

圆2的圆心为F ，半径为，

当直线l的斜率不存在时，x＝2，联立 解得y2＝32，即y＝±4，

所以,所以,

所以,

当直线l的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k（x﹣2） ，

代入抛物线方程可得k2x2﹣（84k2）x+8k2＝0，k≠0，

设A（x1，y1），D（x2，y2），

可得x1+x2＝4，x1x2＝8，

由抛物线的定义可得|AB|+4|CD|＝|AF|4（|DF|）

＝x1+24（x2+2）＝x1+4x2+52513，

当且仅当x1＝4，x2，上式取得最小值13，

综上可得，|AB|+4|CD|的最小值为13，

故答案为: 13