Question

8．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$与直线x-y=1交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其O为坐标原点．若$\frac{{\sqrt{2}}}{2}a≤b≤\frac{{\sqrt{6}}}{3}a$，则a取值范围是（　　）

• A． $[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}]$
• B． $[{\sqrt{3}，2}]$
• C． $[{\frac{{\sqrt{5}}}{2}，\frac{{\sqrt{6}}}{2}}]$
• D． $[{\sqrt{5}，\sqrt{6}}]$

Answer 1

分析 设出P，Q的坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系得到P，Q的横坐标的和与积，结合OP⊥OQ，得到$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=2{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1=0$，代入根与系数的关系，得到${b^2}=\frac{a^2}{{2{a^2}-1}}$．再由$\frac{{\sqrt{2}}}{2}a≤b≤\frac{{\sqrt{6}}}{3}a$可得关于a的不等式组，则a取值范围可求．

解答 解：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ x-y=1\end{array}\right.$，化为：（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，
△=4a⁴-4（a²+b²）（a²-a²b²）＞0，化为：a²+b²＞1．
${x_1}+{x_2}=\frac{{2{a^2}}}{{{a^2}+{b^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{{a^2}-{a^2}{b^2}}}{{{a^2}+{b^2}}}$．
∵OP⊥OQ，
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}={x}_{1}{x}_{2}+（{x}_{1}-1）$（x₂-1）=2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，
∴$2×\frac{{{a^2}-{a^2}{b^2}}}{{{a^2}+{b^2}}}-\frac{{2{a^2}}}{{{a^2}+{b^2}}}+1=0$．化为a²+b²=2a²b²．
∴${b^2}=\frac{a^2}{{2{a^2}-1}}$．
∵$\frac{{\sqrt{2}}}{2}a≤b≤\frac{{\sqrt{6}}}{3}a$，得$\frac{1}{2}{a^2}≤{b^2}≤\frac{2}{3}{a^2}$，
∴$\frac{1}{2}{a^2}≤\frac{a^2}{{2{a^2}-1}}≤\frac{2}{3}{a^2}$，
化为5≤4a²≤6，解得：$\frac{{\sqrt{5}}}{2}≤a≤\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．满足△＞0．
∴a取值范围是$[{\frac{{\sqrt{5}}}{2}，\frac{{\sqrt{6}}}{2}}]$．
故选：C．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了向量垂直与数量积关系的应用，是中档题．