Question

7．已知圆C：（x-1）²+y²=16及圆内一点A（-1，0），P是圆上任意一点．线段AP的垂直平分线l和半径CP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
• B． $\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$
• C． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$
• D． $\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$

Answer 1

分析 直接由题意可得：|QC|+|QA|=|QC|+|QB|=|CP|=4＞|FA|=2，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由b²=a²-c²求得b²，则点Q的轨迹方程可求．

解答 解：圆C：（x-1）²+y²=16的圆心坐标为C（1，0），半径为4．
依题意知：|QC|+|QA|=|QC|+|QB|=|CP|=4＞|FA|=2，
∴点Q的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，
且a=2，c=1，b²=a²-c²=3，
∴所求点Q的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
故选：A．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查椭圆的标准方程，考查数学转化思想方法，是中档题．