Question

已知P点在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点H（-3，0），E（-1，0），点M在直线PQ上，且满足

HP

•

PM

=0，

PM

=-

3

2

MQ

．当点P在y轴上移动时，记点M的轨迹为G．在轨迹G上经过点F（1，0）作弦AB
（1）求轨迹G的方程；
（2）若

AF

=λ

FB

，求证：

EF

⊥（

EA

-λ

EB

）．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,轨迹方程

专题：计算题,证明题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出M的坐标，利用题意向量的关系，求得x和y的关系，进而求得M的轨迹G的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB：y=k（x-1），运用抛物线的定义和联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，求出x₁=λ，x₂=

1

λ

，求得|AE|=λ|EB|，再由向量垂直的条件，即可得证．

解答： （1）解：设点M的坐标为（x，y），
由

PM

=-

3

2

MQ

，得P（0，-

y

2

），Q（

x

3

，0），
由

HP

•

PM

=0，得（3，-

y

2

）•（x，

3

2

y）=0，
所以y²=4x，由点Q在x轴的正半轴上，得x＞0，
即轨迹方程为y²=4x（x＞0）；
（2）证明：动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，
以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线AB：y=k（x-1），代入抛物线方程，可得，
k²x²-（2k²+4）x+k²=0，则x₁x₂=1，
由抛物线的定义可得|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1，
由于

AF

=λ

FB

，则有x₁+1=λ（x₂+1），
解得，x₁=λ，x₂=

1

λ

，
则有|AE|=

(x1+1)2+y12

=

x12+6x1+1

，
|BE|=

(x2+1)2+y22

=

x22+6x2+1

，
则有|AE|=λ|EB|，
则有

EF

•（

EA

-λ

EB

）=

EA +λ EB

1+λ

•（

EA

-λ

EB

）
=

1

1+λ

（

EA

2-λ2

EB

2）=0，
则有

EF

⊥（

EA

-λ

EB

）．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示和性质，考查向量共线的性质，考查运算能力，属于中档题和易错题．