Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA=

6

，E为PA的中点．
（1）求证：PC∥平面EBD．
（2）证明：平面PAC⊥平面PBD．
（3）求三棱锥P-BCE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）如图所示，连接AC交BD于点O．由底面ABCD是菱形，可得OA=OC，利用三角形的中位线定理可得OE∥PC，再利用线面平行的判定定理即可证明PC∥平面EBD．
（2）底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，可得△ABD是等边三角形，AO⊥BD，OB=1，OA=

3

．利用PB=PD=2，OD=OB，可得OP⊥BD．
在Rt△OPB中，利用勾股定理可得OP²=PB²-OB²=2²-1²=3．可得OP²+OA²=PA²．可得OA⊥OP，OA⊥平面PBD．进而证明平面PAC⊥平面PBD．
（3）由于点E是PA的中点，可得V_{三棱锥P-BCE}=

1

2

V三棱锥A-BCP．由于O点是AC的中点，可得V_{三棱锥A-PBC}=2V_{三棱锥A-POB}=2×

1

3

×

1

2

OP×OB×OA，即可得出．

解答： （1）证明：如图所示，连接AC交BD于点O．
∵底面ABCD是菱形，
∴OA=OC，
又∵E为PA的中点，∴EO∥PC，
而PC?平面BED，EO?平面BED，
∴PC∥平面EBD．
（2）证明：∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，AO⊥BD，
∴OB=1，OA=

3

．
∵PB=PD=2，OD=OB，
∴OP⊥BD．
在Rt△OPB中，OP²=PB²-OB²=2²-1²=3．
∵PA=

6

，
∴OP²+OA²=3+3=6=PA²．
∴OA⊥OP．
又OP∩BD=O，
∴OA⊥平面PBD．
∵AO?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD．
（3）解：∵点E是PA的中点，
∴V_{三棱锥P-BCE}=

1

2

V三棱锥A-BCP．
∵O点是AC的中点，
∴V_{三棱锥A-PBC}=2V_{三棱锥A-POB}=2×

1

3

×

1

2

OP×OB×OA=

1

3

×

3

×1×

3

=1．
∴V_{三棱锥P-BCE}=

1

2

V三棱锥A-BCP=

1

2

．

点评：本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、线面垂直与面面垂直的判定性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了了推理能力与计算能力，属于难题．