题目内容
已知正四面体A-BCD的棱长为a，且a∈{x|x2-6x+5≤0}，则
•（
+
）≥4的概率为（ ）
| AB |
| AC |
| AD |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
考点：平面向量数量积的运算
专题：解三角形,平面向量及应用,概率与统计
分析：根据已知条件求得棱长a所在的区间为[1，5]，然后求出
•(
+
)=a2，所以由
•(
+
)≥4得a≥2，且a≤5，即a∈[2，5]，所以根据几何概型的概率公式得：P=
=
．
| AB |
| AC |
| AD |
| AB |
| AC |
| AD |
| 5-2 |
| 5-1 |
| 3 |
| 4 |
解答：
解：取CD的中点E，连接AE，BE，则AE=BE=
a，又AB=a；
∴由余弦定理得：cos∠BAE=
=
；
又
+
=2
，∴
•(
+
)=2a•
•
=a2；
∵a∈{x|x2-6x+5≤0}=[1，5]
∴棱长a所在的区间为[1，5]，由
•(
+
)≥4得a2≥4，∴a≥2，且a≤5，即
•(
+
)≥4所对应的棱长a所在区间为[2，5]；
∴根据几何概型的概率公式得，
•(
+
)≥4的概率为：
=
．
故选D．
| ||
| 2 |
∴由余弦定理得：cos∠BAE=a2+(
| ||||||||
2a•
|
| 1 | ||
|
又
| AC |
| AD |
| AE |
| AB |
| AC |
| AD |
| ||
| 2 |
| 1 | ||
|
∵a∈{x|x2-6x+5≤0}=[1，5]
∴棱长a所在的区间为[1，5]，由
| AB |
| AC |
| AD |
| AB |
| AC |
| AD |
∴根据几何概型的概率公式得，
| AB |
| AC |
| AD |
| 5-2 |
| 5-1 |
| 3 |
| 4 |
故选D．
点评：本题考查正四面体的图形特点，向量加法的平行四边形法则，余弦定理，向量的数量积，几何概型的概率公式．
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| ||||
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| ||||
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| ||||
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