题目内容

已知函数f（x）=
3
sin2x-2sin2x+a（a∈R）
（1）若x∈R，求f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈[0，
π
2
]时，f（x）的最大值为4，求a的值，并指出此时x的值．
考点：三角函数中的恒等变换应用
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）利用三角函数中的恒等变换可求得f（x）=2sin（2x+
π
6
）-1+a，利用正弦函数的单调性即可求得f（x）的单调递增区间；
（2）x∈[0，
π
2
]⇒
π
6
≤2x+
π
6
≤
7π
6
，于是可求f（x）的最大值为4时a的值及此时x的值．
解答： 解：（1）f(x)=
3
sin2x+cos2x-1+a=2sin(2x+
π
6
)-1+a，
解不等式2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
得kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
，(k∈Z)
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
](k∈Z)
（2）∵x∈[0，
π
2
]，∴
π
6
≤2x+
π
6
≤
7π
6
，
∴当2x+
π
6
=
π
2
即x=
π
6
时，f（x）有最大值f（x）max=1+a，
∵1+a=4，∴a=2，此时x=
π
6
．
点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的单调性与最值，考查化归思想与运算求解能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知a、b、c是空间的三条直线，α、β是空间的两个平面，则下列命题错误的是（　　）
A、当c⊥α时，若α∥β，则c⊥β
B、当α⊥β时，若b?α，则b⊥β
C、当c?α，且b?α时，若c∥b，则c∥α
D、当a在α内的射影是c，且b?α时，若b⊥a，则b⊥c
对于任意实数a，b，定义min{a，b}=
a，a≤b
b，a＞b
．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x-4）=f（x），且当0≤x≤2时，f（x）=min{2x-1，2-x}．若方程f（x）-mx=0恰有4个零点，则m的取值范围是（　　）
A、（-
1
3
，
1
3
）
B、（-
1
3
，-
1
5
）
C、（
1
5
，
1
3
）
D、（-
1
3
，-
1
5
）∪（
1
5
，
1
3
）
角α的终边过点P（-
4
5
，
3
5
），则cosα的值为（　　）
A、-
3
4
B、-
4
3
C、
3
5
D、-
4
5
已知正四面体A-BCD的棱长为a，且a∈{x|x2-6x+5≤0}，则
AB
•（
AC
+
AD
）≥4的概率为（　　）
A、
1
4
B、
1
2
C、
2
4
D、
3
4
设函数f（x）=cos（2x+
π
3
）+sin2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=
1
3
，f（
c
2
）=-
1
4
，且C为锐角，求sinA．
已知函数f（x）=
x+b
ax2+1
是定义在（-1，1）上的奇函数，且f（
1
3
）=
3
10
．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：f（x）在（-1，1）上为增函数；
（3）解不等式：f（2t-1）+f（t）＜0．
已知向量
m
=（
3
sin2x+2，cosx），
n
=（1，2cosx），设函数f（x）=
m
•
n

（1）求f（x）的最小正周期与单调递增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对应的边，若f（A）=4，b=1，得面积为
3
2
，求a的值．
设函数f（x）=sin2x+sin2x+3cos2x（x∈R）．
（1）将函数写成f（x）=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜
π
2
）的形式；
（2）在直角坐标系中，用“五点”法作出函数f（x）在一个周期内的大致图象；
（3）求f（x）的周期、最大值和最小值及当函数取最大值和最小值时相应的x的值的集合．

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