Question

已知点F（0，1），点M是F关于原点的对称点．
（1）若椭圆C₁的两个焦点分别为F，M，且离心率为

1

2

，求椭圆C₁的方程；
（2）若动点P到定点F的距离等于点P到定直线l：y=-1的距离，求动点P的轨迹C₂的方程；
（3）过点M作（2）中的轨迹C₂的切线，若切点在第一象限，求切线m的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）依题意，设椭圆C₁的方程为：

y2

a2

+

x2

b2

=1，(a＞b＞0)，由题意知

c=1 e= c a = 1 2 c2=a2-b2

，由此能求出椭圆C₁的方程．
（2）依题意，动点P的轨迹为焦点F（0，1）的抛物线，由此能求出抛物线C₂的方程．
（3）设切点Q（x0，

x02

4

），x₀＞0．由y′=

x

2

，得所求切线方程y=

x0

2

x-

x02

4

．由此能求出切线方程．

解答： 解：（1）∵点F（0，1），点M是F关于原点的对称点，
椭圆C₁的两个焦点分别为F，M，且离心率为

1

2

，
∴依题意，设椭圆C₁的方程为：

y2

a2

+

x2

b2

=1，(a＞b＞0)，
∵

c=1 e= c a = 1 2 c2=a2-b2

，∴a²=4，b²=3，
∴椭圆C₁的方程为C₁：

y2

4

+

x2

3

=1．…（5分）
（2）∵动点P到定点F的距离等于点P到定直线l：y=-1的距离，
依题意，动点P的轨迹为焦点F（0，1）的抛物线，
∴抛物线C₂的方程为x²=4y．…（8分）
（3）设切点Q（x0，

x02

4

），x₀＞0．
由y=

x2

4

，得y′=

x

2

，∴抛物线在Q点处的切线斜率为

x0

2

，
∴所求切线方程y-

x02

4

=

x0

2

(x-x0)，即y=

x0

2

x-

x02

4

．
∵C2：x2=4y的焦点F（0，1）关于原点的对称点M（0，-1）．
∴点M（0，-1）在切线上，∴-1=-

x02

4

，
∴x₀=2或x₀=-2（舍去）．∴所求切线方程为y=x-1．…（14分）

点评：本题考查椭圆方程、抛物线方程的求法，考查切线方程的求法，解题时要认真审题，注意导数的几何意义的合理运用．