Question

10．要建一间地面为25m²，墙高为3m的长方体形的简易工棚．已知工棚屋顶每1m²的造价为500元，墙壁每1m²的造价为400元．问怎样设计地面的长与宽，能使总造价最低？最低造价是多少？

Answer 1

分析 设工棚地面的长为x（x＞0）m，宽为y（y＞0）m，且xy=25，确定工棚屋顶的面积、墙壁的面积，可得工棚的总造价，利用基本不等式，即可求最值．

解答 解：设工棚地面的长为x（x＞0）m，宽为y（y＞0）m，则有xy=25，
所以y=$\frac{25}{x}$．
则工棚屋顶的面积为25m²，墙壁的面积为6（x+y）m²．
所以工棚的总造价W=500×25+400×6（x+y），
将y=$\frac{25}{x}$代入上式，整理得W=12500+2400（x+$\frac{25}{x}$ ）．
因为x＞0，所以W=12500+2400（x+$\frac{25}{x}$ ）≥12500+2400×2$\sqrt{x•\frac{25}{x}}$=36500，
且当x=$\frac{25}{x}$，即x=5时，W取得最小值36500．
此时y=$\frac{25}{x}$=5．                                             
答：当工棚地面的长为5m，宽为5m时，工棚的总造价最低，最低造价为36500元．

点评 本题考查函数模型的应用题的解法，考查基本不等式的应用：求最值，考查运算能力，属于中档题．