题目内容
11．已知空间向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{p}$，若存在实数组（x1，y1，z1）和（x2，y2，z2），满足$\overrightarrow{p}$=x1$\overrightarrow{a}$+y1$\overrightarrow{b}$+z1$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{p}$=x2$\overrightarrow{a}$+y2$\overrightarrow{b}$+z2$\overrightarrow{c}$，且x1≠x2．试证明向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$共面．分析 由已知可得：$（{x}_{1}-{x}_{2}）\overrightarrow{a}$=$（{y}_{2}-{y}_{1}）\overrightarrow{b}$+$（{z}_{2}-{z}_{1}）\overrightarrow{c}$，由于x1≠x2，可得$\overrightarrow{a}$=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{{z}_{2}-{z}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$$\overrightarrow{c}$，即可证明．
解答 证明：∵存在实数组（x1，y1，z1）和（x2，y2，z2），满足$\overrightarrow{p}$=x1$\overrightarrow{a}$+y1$\overrightarrow{b}$+z1$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{p}$=x2$\overrightarrow{a}$+y2$\overrightarrow{b}$+z2$\overrightarrow{c}$，
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）\overrightarrow{a}$=$（{y}_{2}-{y}_{1}）\overrightarrow{b}$+$（{z}_{2}-{z}_{1}）\overrightarrow{c}$，
∵x1≠x2，
∴$\overrightarrow{a}$=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{{z}_{2}-{z}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$$\overrightarrow{c}$，
∴向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$共面．
点评 本题考查了向量的线性运算、向量共面定理，考查了推理能力、计算能力，属于中档题．
如图，三棱柱ABC-A′B′C′，BC=1，BC′=1，CC′=$\sqrt{2}$，面ABC⊥面BCC′B′，E、F分别为棱AB、CC′的中点．| A． | -4 | B． | 0 | C． | 4 | D． | -20102 |
| A． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D． | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |