Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为30°，且|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=1．
（1）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|和|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的值；
（2）求两向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）先利用数量积求出$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}、|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}$，开方后得答案；
（2）求出（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），结合（1）中的结果求得两向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为30°，且|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=1，
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$3+1+2×\sqrt{3}×1×cos30°$=$4+2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=5$，
则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$；
$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$3+1-2×\sqrt{3}×1×cos30°$=4$-2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=1$，
则|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=1；
（2）$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$=$|\overrightarrow{a}{|}^{2}-|\overrightarrow{b}{|}^{2}=3-1=2$．
由（1）知|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=5，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=1．
∴两向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角θ的余弦值cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}=\frac{2}{5×1}=\frac{2}{5}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，训练了由数量积求两向量的夹角的方法，是中档题．