Question

已知⊙C：x²+y²-2ax-2（8-a）y+4a+12=0（a∈R），点P（2，0）．
（1）判断点P与⊙C的位置关系；
（2）如果过点P的直线l与⊙C有两个交点M、N，求证：|PM|•|PN|为定值．

Answer 1

考点：点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：本题（1）先将圆的普通方程化成标准方程，找出圆心和半径，再通过点到圆心的距离大于半径，得到点P在⊙C外；（2）从圆作直线l的垂线，利用弦心距构造直角三角形，将|PM|•|PN|转化为|PC|²-r²，计算得到本题结论．

解答： 解：∵⊙C的方程为：x²+y²-2ax-2（8-a）y+4a+12=0（a∈R），
∴（x-a）²+（y-8+a）²=2（a-5）²+2，
∴圆心C（a，8-a），半径r=

2(a-5)2+2

，
∵P（2，0），
∴|PC|²=（2-a）²+（-8+a）²=2a²-20a+68≥r²，
∴点P在⊙C外．
（2）设过点P的直线l与⊙C有两个交点M、N，过圆心C作直线l的垂线，垂足为H，
则|MH|=|NH|，
|PM|=|PH|+|MH|，
|PN|=|PH|-|NH|，
∴|PM|•|PN|=（|PH|+|MH|）•（|PH|-|MH|）
=|PH|²-|MH|²
=|PC|²-|CH|²-|MH|²
=|PC|²-r²
=（2-a）²+（-8+a）²-[2（a-5）²+2]
=16．（定值）．
∴：|PM|•|PN|为定值．

点评：本题考查了圆的普通方程和标准方程，本题难度不大，属于基础题．