Question

6．已知f（x）=|x-a|+|2x-a|，a＜0．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜$\frac{1}{2}$的解集非空，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，分段讨论f（x）的解析式，可得$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2a-3x，x≤a\\-x，a＜x≤\frac{a}{2}\\ 3x-2a，x＞\frac{a}{2}\end{array}\right.$，作出其图象，分析可得其最小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，分析可得要使不等式$f（x）＜\frac{1}{2}$的解集非空，必须-$\frac{a}{2}$＜$\frac{1}{2}$，解可得a的取值范围，即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2a-3x，x≤a\\-x，a＜x≤\frac{a}{2}\\ 3x-2a，x＞\frac{a}{2}\end{array}\right.$，
函数的图象为；
从图中可知，函数f（x）的最小值为$-\frac{a}{2}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数f（x）的最小值为$-\frac{a}{2}$，要使不等式$f（x）＜\frac{1}{2}$的解集非空，
必须-$\frac{a}{2}$＜$\frac{1}{2}$，即a＞-1．
∴a的取值范围是（-1，0）．

点评 本题考查分段函数的运用，涉及绝对值不等式的性质及应用，关键是利用绝对值的意义将f（x）写成分段函数的形式．