Question

17．如图，已知椭圆C的中心在原点，它的一个焦点与抛物线${y^2}=4\sqrt{6}x$的焦点相同，又椭圆C上有一点M（2，1），直线l平行于OM且与椭圆C交于A，B两点，连接MA，MB．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：直线MA，MB与x轴所构成的三角形总是以x轴上所在线段为底边的等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的焦点坐标，则c=$\sqrt{6}$，将M代入椭圆方程即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，由直线的斜率公式，及韦达定理定理求得k₁+k₂=0，故MA，MB与x轴始终围成等腰三角形．

解答 解：（1）由抛物线${y^2}=4\sqrt{6}x$的焦点F（$\sqrt{6}$，0），由椭圆C上有一点M（2，1），
由题意可知设椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），c²=6，则a²-b²=6，
将M代入椭圆方程$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$，解得：a²=8，b²=2，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）证明：由l∥OM，则k₁=k_OM=$\frac{1}{2}$，设直线l的方程y=$\frac{1}{2}$x+m，
由直线l与椭圆A，B两点，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得：x²+2mx+2m²-4=0，
由x₁x₂=2m²-4，x₁+x₂=-2m，
∴△=（2m）²-4（2m²-4）=4（4-m²）＞0，
∴m的取值范围是{m|-2＜m＜2，且m≠0}，
设MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，
∴k₁+k₂=0，
则A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则k₁=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$，k₂=$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$，
∴k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$，
=$\frac{（{y}_{1}-1）（{x}_{2}-2）+（{y}_{2}-1）（{x}_{1}-2）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$，=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+（m-2）（{x}_{1}+{x}_{2}）-4（m-1）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$，
=$\frac{2{m}^{2}-4-2{m}^{2}+4m-4m+4}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$=0，
故MA，MB与x轴始终围成等腰三角形．

点评 本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．